Сергей Деменок. Просто фрактал

 Когда я не всё понимаю в прочитанном, я особо не расстраиваюсь. Если тема мне позднее не встретится, значит она не особа важна (по крайней мере, для меня). Если же тема встретится повторно, в третий раз, у меня появятся новые шансы лучше в ней разобраться. К числу таких тем относятся и фракталы. Впервые я узнал о них из книги Нассима Талеба Черный лебедь, а затем подробнее из книги Бенуа Мандельброта (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах. Сегодня по запросу «фрактал» на сайте можно получить 20 заметок.

Книга Сергея Деменока [1] мне понравилась, кое-что прояснила в моем понимании фракталов. Возможно, она лучше подойдет для первого знакомства с темой, чем труды первооткрывателя фракталов Бенуа Мандельброта.

Сергей Деменок. Просто фрактал. – СПб.: ООО «Страта», 2014. – 172 с.

Часть I. ПУТЕШЕСТВИЕ К ИСТОКАМ

НАЗВАТЬ ЗНАЧИТ УЗНАТЬ. Ещё в начале XX века Анри Пуанкаре заметил: «Удивляешься силе, которую может иметь одно слово. Вот объект, о котором ничего нельзя было сказать, пока он не был окрещён. Достаточно было дать ему имя, чтобы произошло чудо» (см. также Определение – ключ к овладению понятием). Так и случилось, когда в 1975 году французский математик польского происхождения Бенуа Мандельброт собрал Слово. Из латинских слов frangere (ломать) и fractus (разрывный, дискретный, дробный) сложился фрактал. Мандельброт искусно продвигал и пропагандировал фрактал как бренд с опорой на эмоциональную привлекательность и рациональную полезность. Он издает несколько монографий, в том числе, Фрактальная геометрия природы (1982).

ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ И ИСКУССТВЕ. Мандельброт обозначил контуры фрактальной геометрии, отличной от Евклидовой. Отличие не относилось к аксиоме о параллельности, как в геометриях Лобачевского или Римана. Отличие заключалось в отказе от принятого Евклидом по умолчанию требования гладкости. Некоторым объектам присущи шероховатость, пористость или раздробленность, причём многие из них обладают указанными свойствами «в одинаковой степени в любом масштабе». В природе нет недостатка в подобных формах: подсолнух и брокколи, морские раковины, папоротник, снежинки, горные расселины, береговые линии, фьорды, сталагмиты и сталактиты, молнии.

Люди внимательные и наблюдательные издавна замечали, что некоторые формы демонстрируют повторяющуюся структуру при рассмотрении их «вблизи или издалека». Приближаясь к таким объектам, мы замечаем, что изменяются лишь незначительные детали, но форма в целом остаётся почти неизменной. Исходя из этого, фрактал проще всего определить, как геометрическую форму, содержащую в себе повторяющиеся элементы в любом масштабе.

МИФЫ И МИСТИФИКАЦИИ. Открытый Мандельбротом новый пласт форм стал золотой жилой для дизайнеров, архитекторов, инженеров. Несчётное число фракталов строится по одним и тем же принципам многократного повторения. Отсюда фрактал проще всего определить, как геометрическую форму, которая содержит в себе повторяющиеся элементы в любом масштабе. Эта геометрическая форма локально неизменна (инвариантна), масштабно самоподобна и целостна в своей ограниченности истинная сингулярность, сложность которой раскрывается по мере приближения, а на удалении сама тривиальность.

ДЬЯВОЛЬСКАЯ ЛЕСТНИЦА. Для передачи данных между компьютерами используются чрезвычайно сильные электрические сигналы. Такой сигнал дискретен. Помехи или шумы случайно возникают в электрических сетях вследствие многих причин и приводят к потере данных при передаче информации между компьютерами. Исключить влияние шумов на передачу данных в начале шестидесятых годов прошлого века было поручено группе инженеров IBM, в работе которой принимал участие Мандельброт.

Грубый анализ показал наличие периодов, во время которых не регистрировалось ни одной ошибки. Выделив периоды длительностью в час, инженеры заметили, что между ними периоды прохождения сигнала без ошибок также прерывисты здесь возникают более короткие паузы длительностью около двадцати минут. Таким образом, передача данных без ошибок характеризуется пакетами данных разной длины и паузами в шумах, в течение которых сигнал передаётся без ошибок. В пакетах более высокого ранга как бы встроены пакеты более низкого. Подобное описание предполагает существование такого понятия, как относительное расположение пакетов низшего ранга в пакете более высокого ранга. Опыт показал, что распределение вероятностей этих относительных расположении пакетов не зависит от их ранга. Такая инвариантность говорит о самоподобии процесса искажения данных под действием электрических шумов. Сама процедура вырезания свободных от ошибок пауз в сигнале при передаче данных не могла прийти в голову инженерам-электрикам по той причине, что для них такое было внове.

Но Мандельброт, изучавший чистую математику, хорошо знал множество Кантора, описанное ещё в 1883 году и представляющее собой пыль из точек, полученных согласно строгому алгоритму. Суть алгоритма построения «пыли Кантора» сводится к следующему. Возьмите отрезок прямой. Удалите из него серединную треть отрезка, сохранив две концевых. Теперь повторим ту же операцию с концевыми отрезками и так далее. Мандельброт обнаружил, что именно такова геометрия пакетов и пауз при передаче сигналов между компьютерами. Ошибка накапливается. Её накопление можно моделировать так. На первом шаге всем точкам из интервала [1/3, 2/3] присвоим значение 1/2, на втором шаге из интервала [1/9, 2/9] значение 1/4, значение 3/4 точкам из интервала [7/9, 8/9] и т.д. Пошаговое суммирование этих величин позволяет построить так называемую «дьявольскую лестницу» (рис. 1). Мерой «пыли Кантора» является иррациональное число, равное 0,618…, известное как «золотое сечение» или «Божественная пропорция».

Рис. 1. Алгоритм построения «Пыли Кантора»

Часть II. ФРАКТАЛЫ СУТЬ ДЕЛА

УЛЫБКА БЕЗ КОТА: ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ. Размерность – одно из фундаментальных понятий, выходящее далеко за пределы математики. Евклид в первой книге «Начал» определил основные понятия геометрии точка, линия, плоскость. Основанное на этих определениях понятие трёхмерного евклидова пространства оставалось неизменным почти две с половиной тысячи лет. Многочисленные заигрывания с пространствами четырёх, пяти и более измерений ничего по существу не прибавляют, но сталкиваются с тем, что представить их человеческое воображение не может. С открытием фрактальной геометрии в представлениях о размерности произошёл радикальный переворот. Размерностей появилось великое множество и среди них не только целые, но и дробные, и даже иррациональные. И эти размерности доступны для наглядного и чувственного представления. В самом деле, мы легко представляем сыр с дырками модель среды, размерность которой больше двух, но не дотягивает до трёх из-за сырных дырок, понижающей размерность сырной массы.

Чтобы понять дробную или фрактальную размерность, обратимся к парадоксу Ричардсона, который утверждал, что длина изрезанной береговой линии Британии бесконечна! Луис Фрай Ричардсон задался вопросом о влиянии масштаба измерения на величину измеряемой длины береговой линии Британии. При переходе от масштаба контурных карт к масштабу «береговых камешков» он приходил к странному и неожиданному выводу: длина береговой линии неограниченно возрастает, причём это возрастание не имеет предела. Гладкие изогнутые линии так себя не ведут. Эмпирические данные Ричардсона, полученные на картах всё более крупных масштабов, свидетельствовали о степенном росте длины береговой линии при уменьшении шага измерения:

L ≈ 1/ε^β

В этой простой формуле Ричардсона L есть измеренная длина побережья, ε – величина шага измерения, а β ≈ 3/2 – найденная им степень роста длины побережья с уменьшением шага измерения. В отличие от длины окружности, длина береговой линии Великобритании возрастает, не имея 55 предела. Она бесконечна! Приходиться смириться с тем, что кривые изломанные, негладкие не имеют предельной длины.

Однако исследования Ричардсона наводили на мысль, что они имеют некоторую характерную меру степень роста длины с уменьшением масштаба измерения. Оказалось, что именно эта величина мистическим образом идентифицирует ломаную линию как отпечаток пальцев личность человека. Мандельброт интерпретировал береговую линию как фрактальный объект – объект, размерность которого совпадает с показателем степени β.

Например, размерности прибрежных пограничных кривых для западного побережья Норвегии – 1,52; для Великобритании – 1,25; для Германии – 1,15; для Австралии – 1,13; для сравнительно гладкого побережья Южной Африки – 1,02 и, наконец, для идеально гладкой окружности – 1,0.

Взглянув на фрагмент фрактала, вы не сможете сказать, какова его размерность. И причина не в геометрической сложности фрагмента фрагмент может быть очень простым, но в том, что фрактальная размерность отражает не только форму фрагмента, но и формат трансформации фрагмента в процессе построения фрактала. Фрактальная размерность как бы отстранена от формы. И благодаря этому величина фрактальной размерности остаётся инвариантной она одинакова для любого фрагмента фрактала при любом масштабе обзора. Её нельзя «ухватить пальцами», но можно рассчитать.

ФРАКТАЛЬНЫЙ ПОВТОР. Повтор можно моделировать с помощью нелинейных уравнений. Линейные уравнения характеризуются однозначным соответствием переменных: каждому значению х соответствует одно и только одно значение у и наоборот. Например, уравнение х + у = 1 линейно. Поведение линейных функций полностью детерминировано, однозначно определено начальными условиями. Поведение нелинейных функций не столь однозначно, ведь два разных начальных условия могут привести к одному результату. На этом основании итерация повторение операции проявляется в двух различных форматах. Она может иметь характер линейной референции, когда на каждом шаге вычислений идёт возврат к начальному условию. Это своего рода «итерация по шаблону». Серийное производство на конвейере есть «итерация по шаблону». Итерация в формате линейной референции не зависит от промежуточных состояний эволюции системы. Здесь каждая новая итерация стартует «от печки». Совсем иное дело, когда итерация имеет формат рекурсии, т. е. результат предыдущего шага итерации становится начальным условием для следующего.

Рекурсию можно проиллюстрировать рядом Фибоначчи, представленным в форме последовательности Жирара:

u_n+2 = u_n+1 + u_n

Результат – числа Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

В этом примере совершенно очевидно, что функция применяется сама к себе, не отсылая к начальному значению. Она как бы скользит по ряду Фибоначчи, и каждый результат предыдущей итерации становится начальным значением для следующей. Именно такое повторение реализуется при построении фрактальных форм.

Покажем, как фрактальный повтор реализуется в алгоритмах построения «салфетки Серпинского» (методом вырезания и методом CIF).

Метод вырезания. Берём равносторонний треугольник со стороной r. На первом шаге вырезаем в центре него перевёрнутый вершиной вниз равносторонний треугольник с длиной стороны r₁ = r₀/2. В результате этого шага у нас получаются три равносторонних треугольника с длинами сторон r₁ = r₀/2, располагающиеся в вершинах исходного треугольника (рис. 2).

Рис. 2. Алгоритм построения «салфетки Серпинского» методом вырезания

На втором шаге в каждом из трёх образовавшихся треугольников вырезаем перевёрнутые вписанные треугольники с длиной стороны r₂ = r₁/2 = r₀/4. Результат – 9 треугольников с длиной стороны r₂ = r₀/4. В результате форма «салфетки Серпинского» постепенно становится всё более и более определённой. Фиксация происходит на каждом шаге. Все предыдущие фиксации как бы «стираются».

Метод SIF, или Метод систем итерированных функций Барнсли. Дано: равносторонний треугольник с координатами углов А (0,0), В (1,0), С (1/2, √3/2). Z₀ – произвольная точка внутри этого треугольника (рис. 3). Берем игральную кость, на гранях которой имеется по две буквы А, В и С.

Шаг 1. Бросаем кость. Вероятность выпадения каждой буквы составляет 2/6 = 1/3.

• Если выпала буква А строим отрезок z₀–A, на середине которого ставим точку z₁
• Если выпала буква В строим отрезок z₀–B, на середине которого ставим точку z₁
• Если выпала буква С строим отрезок z₀–C, на середине которого ставим точку z₁

Шаг 2. Бросаем кость ещё раз.

• Если выпала буква А строим отрезок z₁–A, на середине которого ставим точку z₂
• Если выпала буква В строим отрезок z₁–B, на середине которого ставим точку z₂
• Если выпала буква С строим отрезок z₁–C, на середине которого ставим точку z₂

Рис. 3. Алгоритм построения «салфетки Серпинского» CIF-методом

Повторяя операцию много раз, мы получим точки z₃, z₄, …, z_n. Особенность каждой из них в том, что точка находится точно на полпути от предыдущей до произвольно выбранной вершины. Теперь, если отбросить начальные точки, например, от z₀ до z₁₀₀, то остальные при достаточно большом их количестве образуют структуру «салфетки Серпинского». Чем больше точек, чем больше итераций, тем явственнее является наблюдателю фрактал Серпинского. И это при том, что процесс идет, казалось бы, случайным путём (благодаря игральной кости). «Салфетка Серпинского» представляет собой своего рода аттрактор процесса, то есть фигуру, к которой стремятся все траектории, построенные в этом процессе при достаточно большом количестве итераций. Фиксация образа при этом представляет собой кумулятивный, накопительный процесс. Каждая отдельная точка, быть может, никогда и не совпадёт с точкой фрактала Серпинского, но каждая следующая точка этого организованного «по случаю» процесса притягивается ближе и ближе к точкам «салфетки Серпинского».

ПЕТЛЯ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ. Основоположник кибернетики Норберт Винер для описания петли обратной связи в качестве примера привёл рулевого на лодке. Рулевой должен придерживаться заданного курса и постоянно проводит оценку того, насколько лодка его придерживается. Если рулевой видит, что лодка отклоняется, он поворотом руля возвращает её на заданный курс. Через некоторое время он снова производит оценку и опять корректирует направление движения при помощи руля. Таким образом, навигация осуществляется при помощи итераций, повтора и последовательного приближения движения лодки к заданному курсу.

Типовая схема петли обратной связи показана на рис. 4 Она сводится к изменению переменного параметрах (направление лодки) и контролируемого параметра С (курс лодки).

Рис. 4 Схема петли обратной связи

Рассмотрим отображение «сдвиг Бернулли». Пусть в качестве начального состояния выбрано некоторое число, принадлежащее интервалу от 0 до 1. Запишем это число в двоичной системе счисления:

х₀ = 0,01011010001010011001010…

Теперь один шаг эволюции во времени состоит в том, что последовательность нулей и единиц сдвигается влево на одну позицию, и цифра, оказавшаяся по левую сторону от запятой, отбрасывается:

х₁ = 0,1011010001010011001010…

х₂ = 0,011010001010011001010 …

х₃ = 0,11010001010011001010 …

и т.д.

Заметим, что если исходные числа х₀ рациональные, то в процессе итерации значения х_n выходят на периодическую орбиту. Например, для начального числа 11/24 в процессе итерации получим ряд значений:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Если исходные значения x₀ иррациональны, отображение никогда не выйдет на периодический режим. В интервале исходных значений x₀ ∈ [0,1] содержится бесконечно много точек рациональных и бесконечно много точек иррациональных. Таким образом, плотность периодических орбит равна плотности орбит, которые никогда не выходят на периодический режим. В любой окрестности рационального значения x₀ найдётся иррациональное значение исходного параметра х’₀ При таком положении дел неизбежно возникает тонкая чувствительность к начальным условиям. Это является характерным признаком того, что система находиться в состоянии динамического хаоса.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПЕТЛИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ. Реверс является необходимым условием и следствием всякого бокового взгляда, самого себя застигающего врасплох. Иконой реверсивной петли может служить лента Мёбиуса, при которой нижняя её сторона с каждым кругом переходит в верхнюю, внутреннее становится внешним и наоборот. Накопление различий в процессе реверса сначала уводит образ от исходного, а затем к нему возвращает. В логике реверсивную петлю иллюстрирует парадокс Эпименида: «все критяне – лжецы». Но ведь и сам Эпименид критянин.

СТРАННАЯ ПЕТЛЯ. Динамическая суть феномена странной петли сводится к тому, что образ, трансформируясь и все больше отличаясь от исходного, в процессе многочисленных деформаций возвращается к исходному образу, но никогда не повторяет его в точности. Описывая этот феномен, Хофштадтер в книге Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда вводит термин «странная петля». Он приходит к выводу, что и Эшер, и Бах, и Гёдель обнаружили или, точнее, использовали странные петли в своих работах и творчестве в изобразительном искусстве, музыке и математике соответственно. Эшер в «Метаморфозах» открыл для себя странную связность различных планов реальности. Формы одной из художественных перспектив пластично преобразуются в формы другой художественной перспективы (рис. 5).

Рис. 5. Мауриц Эшер. Рисующие руки. 1948

Подобная странность причудливым образом проявилась в музыке. Один из канонов «Музыкального приношения» Баха (Canon per Tonos — Тональный канон) сконструирован таким образом, что его кажущийся финал неожиданно плавно переходит в начало, но со сдвигом тональности. Эти последовательные модуляции уводят слушателя всё выше и выше от начальной тональности. Однако, чудесным образом, после шести модуляций мы почти возвращаемся. Все голоса теперь звучат ровно на октаву выше, чем в начале. Странность в том только, что поднимаясь по уровням некой иерархии, мы неожиданно обнаруживаем себя почти на том же месте, откуда начали свой путь – возвращение без повтора.

Курт Гёдель открыл странные петли в одной из самых древних и освоенных областей математики – в теории чисел. Теорема Гёделя впервые увидела свет как Теорема VI в его статье 1931 года «О формально неразрешимых суждениях» в «Principle Mathematica». Теорема утверждает следующее: все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел содержат неразрешимые суждения. Суждения теории чисел не говорят ничего про суждения теории чисел; они не более как суждения теории чисел. Здесь есть петля, но нет странности. Странная петля спрятана в доказательстве.

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР. Аттрактор (от англ. attract притягивать) точка или замкнутая линия, притягивающая к себе все возможные траектории поведения системы. Аттрактор устойчив, то есть в долгосрочной перспективе единственная возможная модель поведения аттрактор, всё другое временно. Аттрактор пространственно-временной объект, охватывающий весь процесс, не являясь ни его причиной, ни следствием. Он формируется лишь системами с ограниченным числом степеней свободы. Аттракторы могут представлять собой точку, круг, тор и фрактал. В последнем случае аттрактор называется «странным» (рис. 6).

Рис. 6. Виды аттракторов

Точечный аттрактор описывает любое устойчивое состояние системы. В фазовом пространстве он представляет собой точку, вокруг которой формируются локальные траектории «узла», «фокуса» или «седла». Так ведёт себя маятник: при любой начальной скорости и любом начальном положении по истечении достаточного времени под действием трения маятник останавливается приходит в состояние устойчивого равновесия. Круговой (циклический) аттрактор – это движение взад-вперёд, подобно идеальному маятнику (без трения), по кругу.

Странные аттракторы (strange attractors) кажутся странными только со стороны, но термин «странный аттрактор» распространился сразу после появления в 1971 году статьи Давида Рюэля и голландца Флориса Такенса «Природа турбулентности» (см. также Давид Рюэль. Случайность и хаос). Рюэль и Такенс задались вопросом, обладает ли какой-либо аттрактор подходящим набором характеристик: устойчивостью, ограниченным числом степеней свободы и непериодичностью. С геометрической точки зрения вопрос казался чистой головоломкой. Какой вид должна иметь бесконечно протяжённая траектория, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы никогда не повторять и не пересекать саму себя? Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной площади другими словами, быть самозаглатывающей (рис. 7).

Рис. 7. Странный аттрактор «бабочка Лоренца»

К 1971 году в научной литературе уже имелся один набросок такого аттрактора. Эдуард Лоренц сделал его приложением к своей статье о детерминистском хаосе, вышедшей в 1963 году. Этот аттрактор был устойчивым, непериодическим, имел малое число степеней свободы и никогда не пересекал сам себя. Если бы подобное случилось, и он возвратился в точку, которую уже миновал, движение в дальнейшем повторялось бы, образуя тороидальный аттрактор, но такого не происходило.

Странность аттрактора заключается, как считал Рюэль, в трёх неэквивалентных, но на практике существующих вместе признаках:

• фракталъности (вложенность, подобие, согласованность);
• детерминированности (зависимость от начальных условий);
• сингулярности (конечное число определяющих параметров).

• Часть III. МНИМАЯ ЛЁГКОСТЬ ФРАКТАЛЬНЫХ ФОРМ

  МНИМЫЕ ЧИСЛА, ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ И ВЕРОЯТНОСТЬ. Фрактальная геометрия покоится на теории мнимых чисел, динамических фазовых портретах и теории вероятностей. Теория мнимых чисел допускает, что существует квадратный корень из минус единицы. Джероламо Кардано в своём труде «Великое искусство» («Ars Magna», 1545) представил общее решение кубического уравнения z³ + pz + q = 0. Кардано использует мнимые числа как средство технического формализма для выражения корней уравнения. Он замечает странность, которую иллюстрирует простым уравнением х³ = 15х + 4. Это уравнение имеет одно очевидное решение: х = 4. Однако обобщающая формула даёт странный результат. Он содержит корень из отрицательного числа:

Рафаэль Бомбелли в своей книге по алгебре («L’Algebra», 1560) указал на то, что  = 2 ± i, и это сразу позволило ему получить вещественный корень х = 4. В подобных случаях, когда комплексные числа сопряжены, получается вещественный корень, а комплексные числа служат техническим подспорьем в процессе получения решения кубического уравнения.

Ньютон считал, что решения, содержащие корень из минус единицы, следует считать «не имеющими физического смысла» и отбрасывать. В XVII–XVIII веках формировалось понимание того, что нечто воображаемое, духовное, мнимое не менее реально, чем всё действительное, вместе взятое. Мы даже можем назвать точную дату 10 ноября 1619 года, когда Декарт сформулировал манифест нового мышления «cogito ergo sum». С этого момента мысль есть абсолютная и несомненная реальность: «если я мыслю, то, значит, я существую»! Точнее мысль теперь воспринимается как реальность. Идея Декарта об ортогональной системе координат, благодаря мнимым числам, обретает свою завершённость. Теперь появилась возможность наполнять эти воображаемые числа смыслами.

В XIX веке трудами Эйлера, Аргана, Коши, Гамильтона разрабатывается арифметический аппарат работы с комплексными числами. Любое комплексное число может быть представлено как сумма X+iY, где X и Y – привычные нам вещественные числа, а i мнимая единица (по сути это √–1). Каждому комплексному числу соответствует точка с координатами {X, Y} на так называемой комплексной плоскости.

Второе важное понятие – фазовый портрет динамической системы сформировалось в XX веке. После того, как Эйнштейн показал, что по отношению к свету всё движется с одинаковой скоростью, идея о возможности выразить динамическое поведение системы в формате застывших геометрических линий так называемом фазовом портрете динамической системы обрела ясный физический смысл.

Проиллюстрируем её на примере маятника. Первые опыты с маятником Жан Фуко проводил в 1851 году в погребе, потом в Парижской обсерватории, потом под куполом Пантеона. Наконец, в 1855 году маятник Фуко был подвешен под куполом парижской церкви Сен-Мартен-де-Шан. Длина каната маятника Фуко 67 м, вес гири 28 кг. С огромного расстояния маятник выглядит как точка. Точка всегда неподвижна. Приближаясь, мы различим систему с тремя типовыми траекториями: гармонический осциллятор (sinϕ ≈ ϕ), маятник (колебания взад-вперёд), пропеллер (вращение).

Там, где локальный наблюдатель видит одну из трёх возможных конфигураций движения шара, отстранённый от процесса аналитик может предположить, что шар совершает одно из трёх типовых движений. Это можноизобразить на одном плане. Необходимо условиться, что мы переместим «шар на нити» в абстрактное фазовое пространство, имеющее столько координат, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. В этом случае мы говорим о двух степенях свободы скорость v и угол наклона нити с шаром к вертикали ϕ. В координатах ϕ и v траектория гармонического осциллятора представляет собой систему концентрических окружностей, по мере увеличения угла ϕ эти окружности становятся овальными, а при ϕ = ± π  теряется замыкание овала. Это означает, что маятник перешёл в режим пропеллера: v = const (рис. 8).

Рис. 8. Маятник: а) траектория в фазовом пространстве идеального маятника; б) траектория в фазовом пространстве маятника, качающегося с затуханием; в) фазовый портрет

В фазовом пространстве может не быть длин, длительностей, движений. Здесь любое действие пред-дано, но не всякое действительно. От геометрии остаётся только топология, вместо мер параметры, вместо размеров размерности. Здесь любая динамическая система имеет свой уникальный отпечаток фазовый портрет. И среди них встречаются фазовые портреты довольно странные: будучи сложными, они определены одним-единственным параметром; будучи соизмеримыми, они несоразмерны; будучи непрерывными, они дискретны. Такие странные фазовые портреты характерны для систем с фрактальной конфигурацией аттракторов. Дискретность центров притяжения (аттракторов) создаёт эффект кванта действия, эффект разрыва или скачка при том, что траектории сохраняют непрерывность и производят единую связанную форму странный аттрактор.

КЛАССИФИКАЦИЯ ФРАКТАЛОВ. Фрактал имеет три ипостаси: формальную, операциональную и символическую, которые ортогональны друг другу. И это значит, что одна и та же форма фрактала может быть получена посредством разных алгоритмов, а одно и то же число фрактальная размерность может появиться у совершенно разных по форме фракталов. С учетом этих замечаний классифицируем фракталы по символическому, формальному и операциональному признакам:

• в символическом плане характерная для фрактала размерность может быть целой или дробной;
• по формальному признаку фракталы могут быть связные, как лист или облако, и несвязные, как пыль;
• по операциональному признаку фракталы могут быть разделены на регулярные и стохастические.

Регулярные фракталы строятся по строго определённому алгоритму. Процесс построения при этом обратим. Вы можете повторить все операции в обратном порядке, стирая любой созданный в процессе детерминированного алгоритма образ, точка за точкой. Детерминированный алгоритм может быть линейным или нелинейным.

Стохастические фракталы, подобные в стохастическом смысле, возникают, когда в алгоритме их построения, в процессе итераций какие-либо параметры изменяются случайным образом. Термин «стохастичность» восходит к греческому слову stochasis – догадка, предположение. Стохастический процесс – процесс, характер изменения которого точно предсказать невозможно. Фракталы производятся по капризу природы (поверхности разлома горных пород, облака, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи, изменения биржевых цен и уровня рек и прочие), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого в среднем. Компьютер позволяет генерировать последовательности псевдослучайных чисел и сразу моделировать стохастические алгоритмы и формы.

ЛИНЕЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ. Линейные фракталы названы так по той причине, что все они строятся по определённому линейному алгоритму. Эти фракталы самоподобны, не искажаются при любом изменении масштаба и не дифференцируемы в любой своей точке. Для построения таких фракталов достаточно задать основу и фрагмент. Эти элементы будут многократно повторяться с уменьшением масштаба до бесконечности.

Пыль Кантора. В XIX веке немецкий математик Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1845–1918) предложил математическому сообществу странное множество чисел в интервале от 0 до 1. Множество содержало бесконечное число элементов в указанном промежутке и притом имело нулевую размерность. Пущенная наугад стрела вряд ли поразила бы хоть один элемент этого множества.

Для начала необходимо выбрать отрезок единичной длины (первый шаг: n = 0), затем разделим его на три части и изымем среднюю треть (n = 1). Далее будем поступать точно так же с каждым из образовавшихся отрезков. В результате бесконечного количества повторений операции получаем искомое множество «пыль Кантора». Теперь между разрывным и бесконечно делимым не существует противопоставления «пыль Кантора» представляет собой и то, и другое (см. рис. 1). «Пыль Кантора» – фрактал. Его фрактальная размерность равна 0,6304…

Один из двухмерных аналогов одномерого множества Кантора был описан польским математиком Вацлавом Серпинским. Его называют «канторов ковёр» или чаще «ковёр Серпинского». Он строго самоподобен. Мы можем рассчитать его фрактальную размерность как ln8/lnЗ = 1,89… (рис. 9).

Рис. 9. Ковёр Серпинского

ЛИНИИ, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ ПЛОСКОСТЬ. Рассмотрим целое семейство регулярных фракталов, которые представляют собой кривые, способные заполнить плоскость. Ещё Лейбниц утверждал: «Если предположить, что некто ставит на бумаге множество точек по воле случая, <… > я говорю, что можно выявить постоянную и целостную, подчиняющуюся определённому правилу геометрическую линию, которая пройдёт через все точки». Это утверждение Лейбница противоречило Евклидову пониманию размерности, как наименьшего количества параметров, при помощи которых однозначно определяется положение точки в пространстве. За неимением строгого доказательства эти идеи Лейбница оставались на периферии математической мысли.

Кривая Пеано. Но вот в 1890 году математик из Италии Джузеппе Пеано сконструировал линию, которая полностью покрывает плоскую поверхность, проходя через все её точки. Построение «кривой Пеано» показано на рис. 10.

Рис. 10. Построение кривой Пеано

При том, что топологическая размерность кривой Пеано равна единице, её фрактальная размерность равна d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. В рамках фрактальной геометрии парадокс разрешился самым естественным образом. Линией, как паутиной, можно покрыть плоскость. При этом устанавливается однозначное соответствие: каждой точке линии соответствует точка на плоскости. Но это соответствие не взаимно-однозначное, ведь каждой точке на плоскости соответствует одна или более точек на линии.

Кривая Гильберта. Годом позже, в 1891 году появилась статья немецкого математика Дэвида Гильберта (1862–1943), в которой он представил кривую, покрывающую плоскость без пересечений и касаний. Построение «кривой Гильберта» показано на рис. 11.

Рис. 11. Построение фрактала Гильберта

Кривая Гильберта стала первым примером FASS-кривых (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar заполняющих пространство само избегающих, простых и самоподобных линий). Фрактальная размерность линии Гилберта, как и кривой Пеано, равна двум.

Лента Минковского. Герман Минковский, близкий друг Гильберта со студенческих времён, построил кривую, которая не покрывает всю плоскость, но формирует нечто наподобие ленты. При построении «ленты Минковского» на каждом шаге каждый отрезок заменяется на ломаную линию, состоящую из 8 отрезков. На следующем этапе с каждым новым отрезком операция повторяется в масштабе 1:4. Фрактальная размерность ленты Минковского d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1,5.

Рис. 12. Построение фрактала Германа Минковского

НЕЛИНЕЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ. Простейшим нелинейным отображением комплексной плоскости на себя является рассмотренное в первой части отображение Жюлиа z g z² + С. Оно представляет собой расчёт по замкнутому циклу, в котором результат предыдущего цикла умножается сам на себя с приплюсовыванием к нему некоей константы, т. е. представляет собой квадратичную петлю обратной связи (рис. 13).

Рис. 13. Квадратичная петля обратной связи

В процессе итераций при фиксированной величине константы С, в зависимости от произвольной начальной точки Z₀, точка Z_n при n -> ∞ может быть или конечной, или бесконечной. Всё зависит от положения Z₀ относительно начала отсчёта z = 0. Если расчётная величина конечна, то она включается в множество Жюлиа; если уходит на бесконечность, то отсекается от множества Жюлиа.

Форма, которая получается после применения отображения Жюлиа к точкам некоторой поверхности, однозначно определяется параметром С. При малых С – это несложные связные петли, при больших С – это кластеры несвязных, но строго упорядоченных точек. По большому счёту, все формы Жюлиа могут быть разбиты на два больших семейства – связных и несвязных отображений. Первые напоминают «снежинку Коха», вторые «пыль Кантора».

Разнообразие форм Жюлиа обескуражило математиков, когда они впервые смогли наблюдать эти формы на мониторах компьютеров. Попытки ранжировать это многообразие носили весьма условный характер и свелись к тому, что за основу классификации отображений Жюлиа было взято множество Мандельброта, границы которого, как оказалось, асимптотически подобны отображениям Жюлиа.

При С = 0 повторение отображения Жюлиа даёт последовательность чисел z₀, z₀², z₀⁴, z₀⁸, z₀¹⁶… В итоге возможны три варианта:

• при |z₀| < 1 в процессе итераций числа z_n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• при |z₀| > 1 в ходе итераций числа z_n по модулю увеличиваются, стремясь к бесконечности. В этом случае аттрактором является бесконечно удалённая точка, и такие значения мы исключаем из множества Жюлиа;
• при |z₀| = 1 все точки последовательности продолжают оставаться на этой единичной окружности. В этом случае аттрактором является окружность.

Таким образом, при С = 0 граница между притягивающими и отталкивающими исходными точками есть круг. В этом случае отображение имеет две неподвижные точки: z = 0 и z = 1. Первая из них является притягивающей, так как производная квадратичной функции в нуле есть 0, а вторая отталкивающей, так как производная квадратичной функции при значении параметра единица равна двум.

Рассмотрим ситуацию, когда постоянная С является действительным числом, т.е. мы как бы перемещаемся по оси множества Мандельброта (рис. 14). При С = –0,75 происходит самопересечение границы множества Жюлиа и появляется второй аттрактор. Фрактал в этой точке носит имя фрактала Сан-Марко, данное ему Мандельбротом в честь известного венецианского собора. Глядя на рисунок, нетрудно понять, почему Мандельброту пришла идея назвать фрактал именно в честь этого строения: сходство потрясающее.

Рис. 14. Изменение формы множества Жюлиа при уменьшении действительной величины С от 0 до –1

Уменьшая далее С до –1,25, мы получим новую типовую форму с четырьмя неподвижными точками, которые сохраняются до значений С < 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Рис. 15. Появление новых форм множества Жюлиа при уменьшении действительной величины С < –1

Итак, даже оставаясь на оси фрактала Мандельброта (постоянная С действительное число), мы «захватили» в поле внимания и некоторым образом ранжировали довольно большое разнообразие форм Жюлиа от окружности до пыли. Теперь рассмотрим знаковые области фрактала Мандельброта и соответствующие им формы фракталов Жюлиа. Прежде всего, опишем фрактал Мандельброта в терминах «кардиоид», «почек» и «луковок» (рис. 16).

Рис. 16. Фрактал Мандельброта

Главная кардиоида и примыкающий к ней круг формируют основную форму фрактала Мандельброта. К ним примыкает бесконечное число её же копий, которые принято называть почками. Каждая из этих почек облеплена бесконечно большим количеством меньших почек, похожих одна на другую. Две самые большие почки сверху и снизу от основной кардиоиды назвали луковками.

Исследовавшие типовой фрактал этого множества (С = –0,12 + 0,74i) француз Адриен Дауди и американец Билл Хаббард назвали его «фракталом кролика» (рис. 17).

Рис. 17. Фрактал кролика

При переходе границы фрактала Мандельброта фракталы Жюлиа всегда теряют связность и превращаются в пыль, которую принято называть «пылью Фату» в честь Пьера Фату, доказавшего, что для определённых значений С бесконечно удалённая точка притягивает всю комплексную плоскость, кроме очень тонкого множества, подобного пыли (рис. 18).

Рис. 18. Трансформация связных множеств в пыль

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ. Есть существенное отличие между строго самоподобной кривой фон Коха и, например, побережьем Норвегии. Последняя, не являясь строго самоподобной, проявляет подобие в статистическом смысле. Обе кривые при этом изломаны настолько, что ни к одной из их точек вы не сможете провести касательную, или, иными словами, не сможете её дифференцировать. Такие кривые своего рода «монстры» среди нормальных евклидовых линий. Первым, кто построил непрерывную функцию, не имеющую касательной ни в одной своей точке, был Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс. Его работа была представлена Королевской Прусской Академии 18 июля 1872 года и опубликована в 1875 году. Функции, описанные Вейерштрассом, выглядят подобно шумам (рис. 19).

Рис. 19. Дифференцируемость функций и функция Вейерштрасса

Посмотрите на графики биржевых бюллетеней, сводку колебаний температуры или давления воздуха и обнаружите некую регулярную изрезанность. Причём при увеличений масштаба характер изрезанности сохраняется. И это отсылает нас к фрактальной геометрии.

Броуновское движение – один из самых известных примеров стохастического процесса. В 1926 году Жан Перрен получил Нобелевскую премию за исследование характера броуновского движения. Именно он обратил внимание на самоподобие и недифференцируемость броуновской траектории.

https://tinyurl.com/3kasw693

Сергей Деменок. Просто хаос

Заметка посвящается Тиму Злотову (шефу и другу), которому сегодня исполнилось бы 52 года.

Где-то в середине 2000-х я обсуждал с Тимом вопросы взаимодействия с одним моим коллегой. Я говорил, что мне с ним непросто, что он не организован, может не выполнить обещание, непредсказуем. На что Тим заметил, что мы очень хорошо дополняем друг друга. На одном полюсе он – создатель хаоса, на другом я – творец порядка. А в результате получается сотрудничество полное жизни. Об этом и представляемая сегодня книга.

Сергей Деменок. Просто хаос. – СПб.: ООО «Страта», 2013. – 232 с.

Настоящая книга представляет собой упрощённое изложение основных представлений теории динамического хаоса. Она не предназначена для специалистов в этой области. Эта книга для дилетантов в теории хаоса для тех, кто живёт в самой гуще интенсивного настоящего и вынужден динамично и адекватно реагировать на тенденции и тренды, просматривая следующие за ними метаморфозы реальных событий. Чтобы несколько скрасить сухость изложения на многих рисунках в книге присутствует черт (рисунки выполнены Т.В. Ковалевой).

Введение. Связность совершенно различных вещей и явлений, выраженная в математических отношениях, стала основой картезианской парадигмы: Вселенная подобно часовому механизму строго и точно подчиняется божественным законам – законам, открытым Ньютоном. Картезианская парадигма более трехсот лет служила основанием «здравому смыслу». Она обеспечила появление и рост промышленного производства, сформировала индустриальный капитализм и стимулировала каскад научно-технических революций. Однако нечто важное случилось в конце XX века. По всему фронту человеческой деятельности началось изменение понятий и представлений об окружающем мире. Хаос теперь не на периферии, но в самой сердцевине окружающей нас реальности. Хаос не противостоит, но сопутствует порядку Каждый фрагмент порядка погружён в хаос. Между любыми фрагментами порядка всегда есть область хаоса, в которой непременно найдётся фрагмент порядка.

I. РЕГУЛЯРНЫЙ ХАОС

Георг Кантор (1845–1918) – немецкий математик, известный ка создатель теории множеств, построил так называемую шкалу трансфинитных чисел. Это такие отрезки, которые, с одной стороны, имеют бесконечно малую длину, а с другой стороны, их бесконечное суммирование даёт конечное число. Курьёзы теории множеств привели и совсем скоро к геометрии таких структур, как фракталы. Стоит ли удивляться, что символом фрактальной геометрии стало нечто, напоминающее чернильное пятно, – фрактал Мандельброта (рис. 1).

Рис. 1. Фрактал Мандельброта

Напомним средневековую притчу. В ответ на вопрос о доказательствах существования Бога Рабби Акива показал свиток чудесной каллиграфии и заявил, что этот свиток возник оттого, что он вчера разлил чернила, и чернильная клякса чисто случайно образовала данный текст. Понятно, что ему не поверили и сказали, что свиток исполнил искусный каллиграф. «Точно так же, ответил Акива, существование сложного прекрасного мира доказывает, что у него есть Творец».

Сегодня мы всё чаще слышим обратное. Модный эффект самоорганизации состоит, по-видимому, в том, что «чернильное пятно превращается в свиток чудесной каллиграфии». Такое магическое превращение уже стало не просто реальностью, но реальностью осмысленной, математически точно описанной и обозначенной термином «регулярный» или «динамический хаос».

ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ. Идея фазовой траектории проста. Пусть перед нами маятник. Слабый толчок и перед нами линейный гармонический осциллятор (рис. 2а). Такой режим выполняется при малой амплитуде колебаний до тех пор, пока можно считать, что отклонение от оси маятника пропорционально углу этого отклонения (sinx ≈ х), и пренебрегать трением. В координатах «скорость угол отклонения» такой осциллятор отображается как окружность (рис. 2в). От трения колебания затухают. Окружность трансформируется в спираль (рис. 2г).

Рис. 2. Движение маятника в фазовом пространстве

При увеличении силы исходного толчка поведение маятника становиться нелинейным: окружность трансформируется в эллипс. Если силу толчка увеличить ещё больше, то маятник станет вести себя как пропеллер и эллиптическая орбита вырождается в волнистые линии (рис. 2д). Мы можем фиксировать движение маятника в координатах скорости шара ν по одной оси и угла отклонения хорды от вертикали φ. В этих координатах возможные траектории маятника по мере увеличения угла φ изменяются от окружностей к овалам и далее, с потерей замкнутости, к волнистым линиям. [1]

ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. Динамической называется такая система, в которой каждое значение параметра в любой последующий момент времени получается из исходного набора параметров по определённому правилу. Это правило задаёт оператор эволюции динамической системы. Оператор эволюции может быть описан дифференциальным уравнением, если система ведёт себя как поток, или рекуррентным отображением, если система ведёт себя как каскад. В первом случае траектория системы есть непрерывная линия в фазовом пространстве. Во втором случае фазовой траекторией динамической системы является дискретная последовательность точек в фазовом пространстве.

Классическая физика занималась такими динамическими системами, которые можно было не только выделить, но и отделить, изолировать от окружающей среды. В модели изолированной динамической системы её энергия сохраняется. Такие системы называют консервативными. В частности, маятник, совершающий колебания без трения, представляет собой консервативную динамическую систему. В реальности механическая энергия не сохраняется, а постепенно рассеивается (диссипирует) и переходит в тепло, т.е. в энергию микроскопического движения молекул, составляющих систему и её окружение. Такая модель называется диссипативной динамической системой. Строго говоря, в этом случае временная эволюция должна определяться не только состоянием самой системы, но и её окружением. При этом оператор эволюции может обусловливать деградацию системы и её «тепловую смерть», но может приводить к усложнению и развитию динамической системы.

Пусть в некотором фазовом пространстве есть кластер динамических систем, которые подчиняются единому оператору эволюции. Динамические системы кластера отличаются друг от друга только начальными параметрами. С течением времени каждая точка кластера перемещается в фазовом пространстве, как предписано оператором системы, так что форма кластера и его размеры будут меняться. Может случиться, что фазовый объём кластера в процессе временной эволюции будет оставаться постоянным. Это характерно для консервативных систем.

Кластер диссипативных систем ведёт себя иначе (рис. 3). С течением времени он «съёживается» и концентрируется в итоге на одном или нескольких аттракторах подмножествах фазового пространства нулевого или ограниченного объёма. Т.е., система, предоставленная самой себе, с течением времени «забывает» своё начальное состояние и принимает состояние аттрактора.

Рис. 3. Кластер диссипативных систем

ФРАКТАЛЫ. Мандельброт обнаружил, что в природе почти повсеместно присутствует одно общее свойство – самоподобие на разных масштабах. Дерево состоит из веток и веточек, облако из меньших облачков, заливы из бухт, и так много раз, почти бесконечно. Структуры, состоящие из частей, которые «в каком-то смысле подобны целому», Бенуа Мандельброт назвал фракталами (подробнее см., например, Сергей Деменок. Просто фрактал). Таким образом, есть «дикий хаос» совершенно безумный и недоступный никакому описанию хаос, и есть «ручной хаос», поддающийся изучению и описанию благодаря фракталам. Фрактал демонстрирует возможность сочетания сложности формы с простотой операции его построения. Он иллюстрирует то, как хаос и сложность могут возникать в результате действия простых законов и правил.

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС. Успехи классической механики в XVII–XIX вв. были столь впечатляющими, что стало казаться возможным представлять себе всю Вселенную как одну гигантскую динамическую систему. Эта доктрина – лапласовский детерминизм – исходила из полной предсказуемости поведения детерминированной динамической системы в той мере, в которой известны начальные условия и законы эволюции динамической системы (подробнее см. Пьер Симон Лаплас. Опыт философии теории вероятностей). На смену детерминизму Лапласа пришла новая парадигма, сформулированная в 1903 году Анри Пуанкаре: может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Это ведет к потере предсказуемости. Поэтому динамическая система, будучи полностью предопределённой, ведёт себя непредсказуемо.

II. ХАОС – СУТЬ ДЕЛА

УСТОЙЧИВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ. Во времена Галилея и Ньютона стали различать понятия равновесия и устойчивости. Поместим маленький шарик в нижнюю точку внутри полой сферы. Слегка толкнём его и понаблюдаем за движением. После совершения нескольких затухающих колебаний шарик вновь займёт положение на дне сферы. В этом случае положение равновесия устойчиво: малые возмущения исходного состояния затухают во времени. Если мы поместим шарик на вершину сферы (снаружи), то реакция на малое возмущение будет иной: при любом сколь угодно малом отклонении шарика от состояния равновесия он скатывается с вершины. Это положение равновесия неустойчиво: малые возмущения исходного состояния нарастают во времени. Наконец, шар на плоскости демонстрирует так называемое безразличное равновесие (рис. 4).

Рис. 4. Состояния равновесия

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И КОГЕРЕНТНОСТЬ. В XIX веке британский физик Джеймс Клерк Максвелл интерпретировал электромагнетизм в русле идей Декарта. Он представлял себе среду, охваченную вихревым движением. Вихри так малы, что умещаются внутри молекул. Вращающиеся «молекулярные вихри» производят магнитное поле. Направление осей вихрей совпадает с силовыми линиями, а сами они могут быть представлены как тоненькие вращающиеся цилиндрики. Скорость вращения вихрей определяет величину магнитной силы.

И тут возникала трудность чисто механического порядка. Внешние, соприкасающиеся части вихрей должны двигаться в противоположных направлениях, то есть препятствовать взаимному движению. Это напоминало такое положение, как если бы конструктор механизма поместил в непосредственной близости две шестеренки, вращающиеся в одну сторону. У них непременно должны были бы переломаться все зубья!

Чтобы избежать этого, Максвелл решил использовать «холостые колёса». Как можно обеспечить вращение двух рядом расположенных шестерёнок в одну сторону? Нужно поместить между ними небольшие передаточные шестерёнки, «холостые колёса». Максвелл предположил, что между рядами молекулярных вихрей помещён слой мельчайших шарообразных частичек, способных к вращению. Теперь вихри взаимодействовали между собой и вращались в одном направлении. Максвелл называет эти «холостые колёса», «смазочные шарики» между цилиндрами «частичками электричества», а движение их «поток частичек электричества» электрическим током (рис. 5). Так удачная модель стимулирует новое направление мысли. Позднее были открыты электроны.

Рис. 5. Модель электромагнетизма Максвелла

БИФУРКАЦИИ. Собственно, слово «бифуркация» происходит от французского слова bifurcation раздвоение, ветвление. Термин был введен Пуанкаре в 1885 году. Бифуркация представляет собой шаг на пути от порядка к хаосу. Для перехода от порядка к хаосу иногда достаточно одного шага (рис. 6).

Рис. 6. Два возможных пути эволюции системы – бифуркация

Переход динамической системы из одного устойчивого состояния в другое происходит под влиянием окружающей среды. Такие переходы могут осуществляться плавно, мягко, а могут происходить скачкообразно. При том, что одни параметры системы изменяются скачкообразно, другие могут эволюционировать плавно. Например, при прохождении температуры через ноль градусов по Цельсию вода изменяет свою молекулярную структуру. Процесс оледенения шёл постепенно, по мере отвода теплоты. Но температура при этом не изменялась. Обычно температура служит мерой теплоты, но во время «фазового перехода» она перестает отражать запас теплоты в системе.

При изменении «фазового состояния» многие параметры системы ведут себя аналогичным образом изменяются скачком. И это отражает факт перехода системы к новому устойчивому состоянию. В точке перехода система может находиться в одном из двух состояний. При нулевой температуре вода может быть в жидкой или в твёрдой фазах. В таком состоянии система как бы раздваивается. Если управляющий параметр фиксировать в «точке бифуркации», то система будет находиться в «неопределённом состоянии» сколь угодно долго. При этом малейшее изменение управляющего параметра или внешнее воздействие заставят систему принять один из двух фазовых портретов. Эта внезапность оттого, что молекулам воды не надо изменяться, меняются лишь правила внутренних связей.

Томас Мальтус в 1798 году издал короткую книгу «Эссе о законах населения, как оно влияет на будущее улучшение общества». Основным тезисом Мальтуса была идея, что рост населения имеет тенденцию к опережению производства продуктов питания. В своём эссе он представил её в довольно жесткой форме, утверждая, что население увеличивается в геометрической прогрессии (то есть экспоненциально, как числа 1, 2, 4, 8, 16…), а производство продуктов питания растет лишь в арифметической прогрессии (то есть линейно, как числа 1, 2, 3, 4, 5…).

В 1845 г. бельгийский социолог и математик Пьер Франсуа Ферхюльст изменил уравнение Мальтуса, допустив, что популяция рассматриваемого поколения зависит от популяции предыдущего поколения. В результате этого модель динамики популяции становилась нелинейной, что коренным образом изменило её характер. Ферхюльст предположил уменьшение фактора роста заменой r на r*(1 – x_n). Очевидно, величина 1 – x_n пропорциональна количеству имеющейся пищи. Иными словами, по мере того, как популяция x_n приближается к единице, количество пищи постоянно сокращается и параметр роста стремится к нулю. В результате получаем закон роста популяции, называемый квадратичным отображением, или логистической параболой (от франц. прилагательного logistique, относящегося к тыловым службам, занимающимся расквартированием и снабжением войск):

x_n + 1 = r(1 – x_n)*x_n

На самом деле природа не терпит и не совершает скачков – natura non facit saltus – природа ничего не делает резко, или: природа не делает скачков (лат.). Это наблюдение своими истоками восходит к Аристотелю. В XVIII веке Лейбниц его повторил: Nullam transitionemfieri per saltum никакой переход не случается скачкообразно (лат.). Анализ механизма бифуркации подтверждает этот принцип. Бифуркация является следствием непрерывной трансформации, которая происходит в области мнимых чисел, где шаг за шагом подготавливается внезапный переход на оси действительных чисел. Именно такой эффект имел в виду французский математик-универсал Жак Адамар, говоря: «Кратчайший путь между двумя истинами в вещественной области проходит через комплексную область».

УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ФЕЙГЕНБАУМА. Наиболее впечатляющим в динамике логарифмического уравнения Ферхюльста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому порядок трансформируется в хаос. При точном анализе точек бифуркации в процессе Ферхюльста обнаруживается закономерность, имеющая исключительное значение в мире нелинейных явлений. Закономерность касается длин интервалов значений параметра, при которых устойчивым является периодическое движение с некоторым определённым периодом. Эти интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причём множитель, характеризующий скорость перехода к хаотическому режиму, в пределе при n g ∞ приближается к универсальному значению:

δ = r_n + 1/r_n = r_n/r_n–1 = 4,669

Это число, первые десятичные знаки которого были опубликованы Гроссманном и Томэ в 1977 г., появляется снова и снова во многих других процессах. Оно является такой же характеристикой для сценариев удвоения периодов, как число π для отношения длины окружности к её диаметру.

Это число называют теперь числом Фейгенбаума. В 1978 г. Митчел Фейгенбаум проделал вычисления на своём калькуляторе в Лос-Аламосе для целого ряда различных процессов и получил в каждом случае один и тот же множитель. Он открыл универсальность этого числа. Это открытие вызвало невероятную активность учёных во многих областях науки. Было поставлено огромное число экспериментов, показавших, что сценарий удвоения периода действительно наблюдается во многих естественных системах. Это и начало турбулентности в потоке жидкости, и нелинейные колебания в химических или электрических сетях, и даже переход нормального ритма сердца в угрожающую жизни фибрилляцию.

Второй инвариант Фейгенбаума задаёт коэффициент уменьшения масштабов расстояний по оси ординат на бифуркационной диаграмме логистического отображения (рис. 7): расстояние d_n от точки с ординатой 1/2 до ближайшей к ней точки цикла f⁽ⁿ⁾. Он определяется в пределе n g ∞ так:

α = d_n/d_n+1 = 2,503

Рис. 7. Сценарий Фейгенбаума

Можно изучать самые разные явления, писать разные уравнения и получать один и тот же такт перехода от порядка к хаосу. Это поразительно. Фейгенбаум не имел ни малейшего представления о том, почему возникает эта регулярность. Он предположил, что его численные функции выражают законы природы, применимые к системам в точке перехода от порядка к турбулентности. Это не объясняло явления, но фиксировало его.

III. ГЕОМЕТРИЯ СВЁРНУТОГО, СМЯТОГО И СКРУЧЕННОГО

Сформулировано три взаимосвязанных признака регулярного, динамического, или детерминированного хаоса: существенная зависимость от начальных условий; квазипериодическое повторение; равномерное перемешивание.

Пьер-Симон Лаплас в 1776 г. написал: «Физическая астрономия, область знания, которая делает величайшую честь человеческому уму, даёт нам представление, хотя и неполное, чем был бы такой разум. Простота законов, по которым движутся небесные тела, и соотношения между их массами и расстояниями позволяют проанализировать их движение до определённой точки, и, чтобы определить состояние системы этих крупных тел в прошлых или будущих веках, математику достаточно того, чтобы их положение и скорость были получены из наблюдений в любой момент времени. Человек обязан этим мощности приборов, которыми он пользуется, и небольшому числу соотношений, которые он применяет в своих расчётах. Однако незнание различных причин, вызывающих те или иные события, а также их сложность в сочетании с несовершенством анализа мешает нам достичь той же уверенности по отношению к огромному большинству явлений. Таким образом, существуют вещи, которые для нас неопределённы, вещи, более или менее вероятные, и мы стараемся компенсировать невозможность их узнать, определяя различные степени их достоверности. Получается, что слабости человеческого разума мы обязаны появлением одной из самых тонких и искусных математических теорий науки о случае, или о вероятности».

В конце XIX начале XX веков Анри Пуанкаре радикально изменил воззрения на отношения случайности и предопределённости. В линейной системе близко расположенные точки фазового пространства остаются близкими в процессе эволюции системы. Такие системы предсказуемы: начальное измерение содержит информацию, которой можно воспользоваться для прогноза будущего поведения системы. Но большинство систем нелинейны: сколь угодно близко расположенные точки в фазовом пространстве расходятся в процессе эволюции.

В середине XX века в известных лекциях по физике Ричард Фейнман [2] пишет: «Обычно думают, что индетерминизм – это особенность квантовой механики. Но аналогичные представления следуют из классических законов. Конечно, с точки зрения классики, узнав местоположение и скорость всех частиц в мире, можно точно предсказать, что будет дальше. В этом смысле классический мир детерминирован. Но представьте теперь, что наша точность ограничена и что мы незнаем точно положение только одного из атомов; знаем, скажем, его с ошибкой в одну миллиардную. Тогда, если он столкнётся с другим атомом, неопределённость в знании его координат после столкновения возрастёт. Следующее столкновение ещё сильнее увеличит ошибку. Так что если сначала ошибка и была еле заметной, то всё равно вскоре она вырастает до огромнейшей неопределённости. Правильнее будет сказать, что для данной точности (сколь угодно большой, но конечной) можно всегда указать такой большой промежуток времени, что для него становится невозможным сделать предсказания. И этот промежуток (в этом вся соль) не так уж велик».

Американское издание фейнмановских лекций вышло в 1963 г. В том же году в Journal of the Atmospheric Sciences появилась статья американского метеоролога Эдварда Лоренца, положившая начало новому направлению в естествознании – исследованию хаоса в детерминированных системах.

СИМВОЛИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. Символы играют столь важную роль в описании поведения динамических систем, что появился раздел динамики – символическая динамика. Неустойчивость динамической системы приводит к сложному, запутанному их поведению и делает малопригодными классические методы анализа. Жак Адамар одним из первых попытался описать эту запутанность простейших динамических систем типа x_n+1 =f(x_n). Адамар обнаружил совершенно новый механизм неустойчивости. Развивая идеи Адамара, американский математик Марстон Морс первым ввёл в обиход термин «символическая динамика» в 1920-х годах. Он исследовал одну последовательность, которую ещё в 1906 году опубликовал норвежский математик Аксель Туэ. Сегодня она известна как последовательность Морса–Туэ.

Её построение начинается с нуля. На каждом следующем шаге к набору нулей и единиц, уже имеющемуся на предыдущем шаге, справа приписывается его дополнение набор знаков, в котором каждый нуль заменен единицей, а каждая единица заменена нулем 0 —> 01, 1 —> 10,

1 шаг     0

2 шаг     01

3 шаг     0110

4 шаг     01101001

5 шаг     0110100110010110

6 шаг     01101001100101101001011001101001 и т.д.

Отображение Морса–Туэ обладает свойством самоподобия содержит фрагменты, которые при надлежащем «растяжении» воспроизводят всю последовательность. В качестве примера рассмотрим шестой шаг построения. Начав с первого члена, выберем каждый второй член последовательности. Нетрудно заметить, что выбранные члены образуют снова последовательность Морса–Туэ 0110100110010110.

ГЕОМЕТРИЯ НА РЕЗИНОВОМ ЛИСТЕ. Топология – своего рода «геометрия на резиновом листе». Тополог имеет дело с простыми замкнутыми кривыми. «Простая» означает, что она не пересекает саму себя. При этом любую фигуру тополог может согнуть и свернуть, скомкать и смять, сжать и растянуть, скрутить и… делать с ней что угодно, только не разрывать и не склеивать. От геометрии Евклида осталась лишь одно качество непрерывность. Это единственное ограничение, наложенное на топологическую трансформацию, пространство нельзя разрывать. Иными словами, две близкие точки в процессе трансформации остаются близкими точками.

Термин «топология» впервые появился в работе ученика Гаусса Иоганна Листинга в 1847 году. Становление топологии совпало со знаковым сдвигом в познании мира. Изменился горизонт интересов. К началу XX века учёные приступили к исследованию того, что невидимо: структур микромира, с одной стороны, и строения Вселенной, с другой стороны. К этому времени уже разработаны геометрии Лобачевского и Римана (подробнее см. Леонард Млодинов. Евклидово окно). Отправным пунктом этих геометрий послужил V постулат Евклида, суть которого в том, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её. Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829) заявил, что допущение, противоположное постулату Евклида, позволяет также построить геометрию, столь же согласованную и непротиворечивую, как и евклидова. Допущение Лобачевского можно сформулировать так: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её. Итальянский математик Эудженио Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера (рис. 8). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой кривизной (на плоскости), Лобачевского с постоянной отрицательной кривизной (на псевдосфере), то геометрия Римана реализуется на поверхностях с постоянной положительной кривизной (на сфере).

Рис. 8. Сфера и псевдосфера

Топология изучает топологические свойства (или топологические инварианты) форм и фигур, которые не изменяются при гомеоморфных отображениях, т.е. отображениях, которые взаимно однозначны и взаимно непрерывны. Термин «гомеоморфизм» был введен Пуанкаре в 1895 г. Наглядно гомеоморфизм можно представить себе, как такое отображение одного множества на другое, которое происходит и без разрывов, и без склеивания. Например, будем считать, что фигуры А и Б «изготовлены» из очень прочного и эластичного материала, и будем допускать возможность любых растяжений и искривлений этого материала без разрывов и без образования складок и склеек; если мы сможем при этих условиях «наложить» фигуру А на фигуру В, то, значит, они гомеоморфны. Так, контур любого многоугольника гомеоморфен окружности. Поверхности шара, куба, цилиндра гомеоморфны между собой. Однако они не гомеоморфны тору, который можно наглядно представить себе, как поверхность баранки или автомобильной камеры. С топологической точки зрения бублик ничем не отличается от чашки для чая, зато их не спутаешь с яблоком или бананом, которые между собой топологически также неразличимы. При этом морской узел отличается от узла, который мы завязываем на ботинках.

Ещё в эпоху Ришелье и д’Артаньяна Рене Декарт (1639) заметил неожиданное общее свойство всех правильных многогранников: для любого из них соотношение между числом вершин (V), рёбер (Е) и граней (F) может быть описано простой формулой: V – Е + F = 2. В следующем столетии Леонард Эйлер показал, что в обобщённом смысле многоугольник есть множество вершин, попарно соединённых ребрами, – граф (рис. 9). Эйлер ввёл инвариант χ = В – Р + Г, который стал называться «эйлеровой характеристикой» поверхности.

Рис. 9. Граф

В таблице представлены данные для пяти правильных многогранников. Из неё ясно, что для каждого правильного многогранника имеет место соотношение В – Р + Г = 2, где В – число вершин, Р – число рёбер, Г – число граней многогранника. И для всех их χ = 2 (рис. 10).

Рис. 10. Параметры правильных многогранников, эйлерова характеристика которых равна 2

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: ТЕОРИИ ГРАФОВ И УЗЛОВ. На пересечении дискретной математики и топологии появилась теория графов. Графами можно назвать сети, в которых выделены только вершины и рёбра. Структурные элементы больших размерностей, в т.ч. грани, не рассматриваются. Даже объект графа «ребро» не имеет внутренней структуры это просто связь двух точек. С этой точки зрения графы являются линейно-точечными топологическими объектами. Единственное, что можно определить на ребре, в отличие от сетки, – указать направление. Направление – это ещё один топологический признак.

В теории графов комбинаторика соединения дискретных точек имеет топологическую интерпретацию. На практике этой теорией пользуются инженеры при проектировании схемы дорог, газопроводов, тепло и электросхем, химики при анализе валентных связей в сложных молекулах, историки при построении родственных связей в генеалогических деревьях, социолог при анализе иерархии подчинённости в огромных корпорациях, военачальники при разработке логистических потоков войск, провизии и информации. В каждом из этих примеров фигурирует схема, состоящая из точек, соединённых между собой линиями.

Давно известны морские и рыболовецкие узлы, которые используются для соединения двух концов верёвок или для крепления снастей: беседочный, шкотовый, кошачьи лапки. Подобные узлы и оказались в поле внимания топологов. Узел образуется, когда из отрезка верёвки делают петли, затем сквозь них пропускают концы верёвки и, наконец, два конца соединяют вместе. Полученная, изготовленная из верёвки замкнутая кривая представляет собой геометрическую фигуру, существенные свойства которой не изменяются, как бы в дальнейшем ни перетягивать или ни перекручивать верёвку. В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения многообразий (рис. 11).

Рис. 11. Теория узлов

В математике узел – это некая абстракция: рассматривается не верёвка и не шнур, а бесконечно тонкая, гибкая и растяжимая нить. Кроме того, рассматривая математический узел, нужно либо как-то зафиксировать его концы (обычно говорят, что один конец уходит в бесконечность «вверх», а другой – в бесконечность «вниз»), либо просто соединить их. В последнем случае модель узла – замкнутая несамопересекающаяся кривая в пространстве.

ГЕОМЕТРИЯ СФЕР. Исследуя геометрию фигур на сфере, Риман заметил интересный факт: окружности наибольшего радиуса играют на сфере ту же роль, что и прямые на плоскости. Отрезок большой окружности является кратчайший линией, соединяющей две точки на сфере (более подробно см. Леонард Млодинов. Евклидово окно, часть 3. История Гаусса). Однако, в отличие от прямых на плоскости, любые две окружности наибольшего радиуса обязательно пересекаются в двух точках.

Возьмите любой неустойчивый режим. Если система линейна, то неустойчивость режима ведёт к неограниченному росту возмущений. Динамическая система «уходит на бесконечность». Однако большинство реальных систем ограничены в запасах энергии и не могут обеспечить неограниченный рост возмущений. Преодолеть энергетический «холм» в фазовом пространстве может не всякая динамическая система.

Алиса из книжки Льюиса Керолла «Алиса в Зазеркалье» не смогла. Если представить, что Алиса попала в фазовое пространство, то многие странности становятся интуитивно очевидными. Например, Алисе не под силу пересечь путь стремительной Красной Королевы, двигаясь ей навстречу. Но, повернув назад, обратив время вспять, она встречает Королеву, ведь Королева много раз в прошлом проходила вблизи дома, у которого кружила Алиса.

Посредством инверсии отображенное становиться отображаемым и в тот момент, когда оригинал и образ встречаются у зеркальной поверхности. В силу инверсии оригинал и образ меняются местами и, пройдя зеркальную поверхность, продолжают путь.

Механизм инверсии был известен математикам благодаря работам немецкого математика Людвига Иммануэля Магнуса, который в 1831 году впервые стал рассматривать отображение, превращающее внутреннюю область окружности во внешнюю и обратно. Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность с центром О (называемым полюсом или центром инверсии, эта точка «выколота», т.е. не учитывается) и радиусом R (рис. 12). Инверсия точки Р относительно окружности есть точка Р’, лежащая на луче ОР такая, что |ОР’|*|ОР| = R².

Рис. 12. Инверсия относительно окружности

Очевидно, что любая точка, лежащая на окружности, относительно которой производится преобразование инверсии, при отображении переходит в себя же. Любая точка, лежащая внутри окружности, переходит во внешнюю область, и наоборот. Считается, что центр окружности переходит в бесконечно удалённую точку (∞), а бесконечно удалённая точка наоборот, в центр окружности: (О)’ = ∞, (∞)’ = О. Ясно, что повторное применение преобразования инверсии обращает первое её применение – все точки возвращаются обратно: (P’)’ ≡ P. Инверсия делает бесконечность обозримой. Как, например, инверсия параболы с уходящими «на бесконечность» ветвями есть обозримая сразу целиком и полностью кардиоида (рис. 13). Математические изыскания на тему инверсии оказались очень полезными в инженерной практике.

Рис. 13. Кардиоида – инверсия параболы

Мы ещё не знаем, какова структура нашей Вселенной. Она может иметь форму трёхмерной сферы, рожка или горна, но в любом случае она достаточно замысловато свёрнута и ограничена. При этом в каких-то её местах «встречаются области, где можно увидеть собственный затылок». При таком положении дел следует тренировать своё воображение для начала на самых простых из всех замысловатых форм, изучаемых топологией, таких, как лента Мёбиуса и бутылка Клейна.

ЛЕНТА МЁБИУСА И БУТЫЛКА КЛЕЙНА. Лист Мёбиуса получается следующим образом. Ленту прямоугольной формы один раз перекручивают и затем её концы склеивают (рис. 14). Лист Мёбиуса имеет лишь одну сторону. Например, зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит односторонняя поверхность. После появления магнитофона нашлись умельцы, придумавшие особые кассеты, где магнитофонная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Время непрерывного звучания увеличилось вдвое.

Рис. 14. Лист Мёбиуса

Бутылка Клейна – это своего рода трёхмерный лист Мёбиуса. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Flӓche – поверхность, которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche – бутылка. Феликс Клейн [3] в 1882 году создал такую бутылку, у которой нет «внутри» и нет «снаружи», но в ней можно хранить вино. В трёхмерном пространстве она неизбежно самопересекается, но в четырёх измерениях она подобна листу Мёбиуса. Эта поверхность одновременно замкнута, как сфера и тор, и односторонняя, как лист Мёбиуса. В отличие от обычной бутылки, она не имеет края, а её поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Та поверхность, которая кажется наружной, непрерывно переходит в ту, которая кажется внутренней, как переходят друг в друга на первый взгляд различные стороны листа Мёбиуса (рис. 15).

Рис. 15. Преобразование цилиндра в бутылку Клейна

РАЗМЕРНОСТЬ – НИТЬ АРИАДНЫ. В XX веке размерность оказывается в центре внимания научной мысли. От Евклида до Пуанкаре размерность объекта определяли, мысленно разделяя его поверхностями, сечениями, кривыми и точками путем индуктивного логического заключения. И если мыслителей с древних времён заботили размерности, то ремесленников больше заботили размер, площадь, объём. Так, испокон веков для измерения площади фигуры сложной формы ремесленники использовали палетку. Палетка – это прозрачная пластина, на которой нанесена сетка с квадратными ячейками, стороны которых одинаковы и равны некоторой величине δ. Если такую сетку наложить на карту Великобритании и подсчитать количество клеток, попавших в область объекта измерения, то можно оценить его площадь, которая пропорциональна количеству ячеек, попавших в его границы. Точность оценки возрастает с уменьшением шага сетки. Оказалось, что этот подход открывает новый путь к определению размерности.

Математики давно заметили геометрические формы, топологическая размерность которых не отражает их сложности. Это, например, пыль Кантора, линия Гильберта или губка Менгера. Если перед вами точка, вы сразу присвоите ей нулевую размерность, если перед вами линия вы сразу скажете, что ее размерность равна единице. Но если перед вами губка Менгера, линия Гильберта или пыль Кантора, то вы испытаете затруднения с ответом на вопрос, какова их размерность (рис. 16).

Рис. 16. Пыль Кантора, линия Гильберта и губка Менгера

При увеличении масштаба измерения длина береговой линии растёт без ограничений, стремясь к бесконечности. Возьмите, например, карту Норвегии. Вычислите длину побережья в самом грубом масштабе. Теперь учтём изгибы основных фьордов. Полученный результат изменится. Приглядевшись поближе, мы увидим, что эти фьорды содержат ещё более мелкие фьорды и т.д. Мы всегда сможем найти ещё более точную длину, если будем огибать маленькие бухточки и мысочки, затем валуны, камни и гальку…

Посмотрите на облако. Оно имеет форму, хотя и бесформенно. Бенуа Мандельброт охарактеризовал созданную им фрактальную геометрию как морфологию безрельефного, бесформенного, облачного, аморфного: «облака не сферы, горы не конусы, береговые линии не окружности, древесная кора не гладкая, молния скользит не по прямой». Такая геометрия стоит очень близко к хаосу, ведь «хаос всё оформляет, но сам бесформен».

Обычно фрактальная размерность множества больше его топологической размерности и является дробным числом, заключённым между 1, 2 или 3.

[1] На мой взгляд, лучше всего новичкам знакомиться с понятием фазового пространства по книге Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях. Лекция 4. Динамическая система.

[2] О Ричарде Фейнмане см., например, Леонард Млодинов. Радуга Фейнмана. Поиск красоты в физике и в жизни.

[3] Феликс Христиан Клейн (1849–1925) – немецкий математик и педагог. Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии (евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, риманова, многомерная, комплексная и т.д.) в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты (неизменные свойства) таких преобразований.